Числовые ряды. Достаточные признаки их сходимости

Числовые ряды. Достаточные признаки их сходимости

Ьная работа для заочного отделения

Семестр.

Рекомендуемая литература

Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачках: в 2 ч. / П.Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. - 5-е изд., испр. - М.: Высшая школа.Ч.2.-1998.-304с.

Введение.

Делать контрольную работу следует строго по графику. Каждый студент делает контрольную работу под вариантом, номер Числовые ряды. Достаточные признаки их сходимости которого совпадает с его порядковым номером в групповом журнальчике. Решение задач необходимо предоставить в письменном виде на отдельных листах (формата А 4, в скрепленном виде). Сдавать работу можно как в печатном, так и в письменном виде. Выполняя к.р. , студент должен переписать условие соответственной задачки, написать подробное решение, выделив ответ. Там Числовые ряды. Достаточные признаки их сходимости, где это нужно, дать короткие пояснения по ходу решения.

Пример дизайна титульного листа

Министерство образования и науки Русской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего проф образования

«Южно-Уральский муниципальный университет»

Контрольная работа

По дисциплине:”математика”

Вариант № 100

Выполнил студент 1 курса

Заочного отделения

Гр…..-166

Иванов И.И.

Проверил………….

Златоуст

2012г.

Числовые ряды. Достаточные признаки их сходимости

Пусть u Числовые ряды. Достаточные признаки их сходимости1, u2, u3, … , un, …, где un = f(n), –– нескончаемая числовая последовательность. Выражение u1 + u2 + u3 + … + un + … именуется нескончаемым числовым рядом, а числа u1, u2, u3, … , un, … –– членами ряда; un = f(n) именуется общим членом. Ряд нередко записывают в виде .

Сумму первых n членов числового ряда обозначают через Sn и именуют n Числовые ряды. Достаточные признаки их сходимости-й частичной суммой ряда:

.

Ряд именуется сходящимся, если его n-я частичная сумма Sn при неограниченном возрастании n стремится к конечному лимиту, т.е. если . Число S именуют суммой ряда. Если же n-я частичная сумма ряда при не стремится к конечному лимиту, то ряд именуют расходящимся.

Ряд Числовые ряды. Достаточные признаки их сходимости , составленный из членов хоть какой убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и имеет сумму .

Ряд , именуемый гармоническим, расползается.

Нужный признак сходимости.Если ряд сходится, то , т.е. при предел общего члена сходящегося ряда равен нулю.

Таким макаром, если , то ряд расползается.

Перечислим важные признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами.

1-ый признак Числовые ряды. Достаточные признаки их сходимости сопоставления. Пусть даны два ряда

(1)

и

, (2)

при этом каждый член ряда (1) не превосходит соответственного члена ряда (2), т.е. . Тогда если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1); если расползается ряд (1), то расползается и ряд (2).

Этот признак остается в силе, если неравенства производятся не при всех n, а только начиная с Числовые ряды. Достаточные признаки их сходимости некого номера n = N.

2-ой признак сопоставления. Если существует конечный хороший от нуля предел , то ряды и сразу сходятся либо расползаются.

Конкретный признак Коши. Если для ряда

существует , то этот ряд сходится при , расползается при .

Признак Даламбера. Если для ряда существует , то этот ряд сходится при , расползается при .

Интегральный признак Числовые ряды. Достаточные признаки их сходимости Коши. Если f(x) при –– непрерывная положительная и однообразно убывающая функция, то ряд , где сходится либо расползается зависимо от того, сходится либо расползается интеграл .

Разглядим сейчас ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т.е. ряды вида , где .

Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины Числовые ряды. Достаточные признаки их сходимости его членов однообразно убывают, а общий член стремится к нулю. Другими словами, если производятся последующие два условия: 1) и 2) .

Возьмем n-ю частичную сумму сходящегося знакочередующегося ряда, для которого производится признак Лейбница:

.

Пусть –– n-й остаток ряда. Его можно записать как разность меж суммой ряда S и n-й частичной суммой Числовые ряды. Достаточные признаки их сходимости Sn, т.е. . Несложно созидать, что

.

Величина оценивается при помощи неравенства .

Остановимся сейчас на неких свойствах знакопеременных рядов (т.е. знакочередующихся рядов и рядов с произвольным чередованием символов собственных членов).

Знакопеременный ряд сходится, если сходится ряд .

В данном случае начальный ряд именуется полностью сходящимся.

Сходящийся ряд именуется условно сходящимся, если Числовые ряды. Достаточные признаки их сходимости ряд расползается.

Пример 1. Изучить сходимость ряда

.

Решение. Данный ряд составлен из членов нескончаемо убывающей геометрической прогрессии и потому сходится. Найдем его сумму. Тут , (знаменатель прогрессии). Как следует,

.

Пример 2. Изучить сходимость ряда .

Решение. Данный ряд получен из гармонического отбрасыванием первых 10 членов. Как следует, от расползается.

Пример 3. Изучить сходимость ряда .

Решение Числовые ряды. Достаточные признаки их сходимости. Потому что , т.е. , то ряд расползается (не производится нужный признак сходимости).

Пример 4. Изучить сходимость ряда .

Решение. Члены данного ряда меньше соответственных членов ряда , т.е. ряда . Но последний ряд сходится как нескончаемо убывающая геометрическая прогрессия. Как следует, начальный ряд сходится.

Пример 5. Изучить сходимость ряда .

Решение. Сравним ряд с Числовые ряды. Достаточные признаки их сходимости гармоническим рядом, у которого : . Как следует, данный ряд расползается.

Пример 6. Изучить сходимость ряда .

Решение. Тут комфортно применить конкретный признак Коши, так как , а предел последней дроби находится просто:

.

Потому что , то ряд сходится.

Пример 7. Изучить сходимость ряда .

Решение. Применим признак Даламбера; имеем , , ; означает

.

Потому что , то ряд расползается.

Пример Числовые ряды. Достаточные признаки их сходимости 8. Изучить сходимость ряда

.

Решение. Имеем , , , , –– ряд сходится.


chislo-detej-rodivshihsya-za-god-lekciya-1-tema-socialnaya-gigiena-kak-teoriya-zdravoohraneniya-i-predmet-prepodavaniya.html
chislo-gospitalizirovannih-detej-v-lpu-oblasti-polozhenie-detej-sirot-i-meri-po-ih-podderzhke-54-polozhenie-detej-invalidov.html
chislo-imeni-cifra-imeni.html