Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример.

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример.

Обычным дифференциальным уравнением именуется выражение

, где x – независящая переменная; y – разыскиваемая функция от x; - производные соответствующего порядка.

Уравнение именуется разрешенным относительно старшей производной, если имеет вид: y(n) = f(x,y,y',...,y(n − 1)) .

Уравнение, разрешенное относительно старшей производной, сводится к системе n обычных дифференциальных уравнений первого порядка при помощи подмены y1 = y Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример.',y2 = y'',...,yn − 1 = yn − 1, что дает:

,

,

...

,

.

Задачка Коши для дифференциального уравнения n-ого порядка
y(n) = f(x,y,y',...,y(n − 1)) заключается в отыскании функции y=y(x) , удовлетворяющей этому уравнению и исходным условиям , где - данные числа.

Задачка Коши для системы дифференциальных уравнений

заключается в отыскании функций y1,y2,...,yn Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример., удовлетворяющих этой системе и исходным условиям y1(x0) = y10,y2(x0) = y20,...,yn(x0) = yn0.

Если удается отыскать общее решение уравнения либо системы, то задачка Коши сводится к отысканию значений случайных неизменных. Но отыскать общее решение задачки Коши удается в редчайших случаях; в большинстве случаев приходится решать Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример. задачку Коши приближенно.

Для приближенных вычислений существует несколько численных способов, как то: способ поочередных приближений, способ Эйлера, способ Рунге-Кутта, способ Милна и др.

Способ Эйлера.Исторически первым и более обычным методом численного решения задачки Коши для ОДУ первого порядка является способ Эйлера. В его базе лежит аппроксимация Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример. производной отношением конечных приращений зависимой (y) и независящей (x) переменных меж узлами равномерной сетки:

где yi+1 это разыскиваемое значение функции в точке xi+1.

Если сейчас конвертировать это уравнение, и учитывать равномерность сетки интегрирования, то получится итерационная формула, по которой можно вычислить yi+1 , если понятно yi в точке хi:

(6.4)

Графическая интерпретация способа Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример. Эйлера также не представляет затруднений (см. набросок ниже). Вправду, исходя из вида решаемого уравнения) следует, что значение есть значение производной функции y(x) в точке x=xi - , и, таким макаром, равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции y(x) в точке x=xi.

Из прямоугольного треугольника на рисунке можно Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример. отыскать

,откуда и выходит формула Эйлера. Таким макаром, сущность способа Эйлера заключается в подмене функции y(x) на отрезке интегрирования прямой линией, касательной к графику в точке x=xi. Если разыскиваемая функция очень отличается от линейной на отрезке интегрирования, то погрешность вычисления будет значимой. Ошибка способа Эйлера прямо Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример. пропорциональна шагу интегрирования:

Процесс вычислений строится последующим образом. При данных исходных критериях x0и y0 можно вычислить таблицу значений функции y(x) с определенным шагом (h) по x на отрезке [x0, xN]. Ошибка в определении значения y(xi) при всем этом будет тем меньше, чем меньше выбрана длина шага h(что определяется точностью формулы Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример. интегрирования). Шаг интегрирования h берется меньше шага сетки, на которой определяется решение.

Для погрешности способа Эйлера на одном шаге справедлива оценка

а для оценки погрешности решения на всём отрезке [a, b] справедливо

Для практической оценки погрешности можно советовать правило Рунге: выполняются вычисления с шагом h — рассчитываются значения y Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример.(h)i, потом выполняются вычисления с половинным шагом h/2 — рассчитываются значения y(h/2)i . За оценку погрешности вычислений с шагом h/2 принимают величину

Если соединить точки (xi,yi) прямолинейными отрезками, получим ломаную Эйлера — ломаную линию, каждое звено которой с началом в точке (xi,yi) имеет угловой коэффициент, равный f Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример.(xi,yi).

Пример. Решим задачку Коши

y' = y2 − x, y(1) = 0 на отрезке [1, 3] способом Эйлера с шагом h = 0.2 и с шагом h = 0.1.

Изобразим решение графически. Оценим погрешность.

Вычисления с шагом h = 0.2:

Ниже приведены: таблица значений приближённого решения в узлах равномерной сетки с шагом h = 0.2, график приближённого решения и ломаная Эйлера.

Способ Рунге Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример.-Кутта.Способ Рунге-Кутта основан на использовании для вычисления интегралов формулы Симпсона:

.

Определив значения по способу Эйлера, получим

i=0,1,…,n.

Это формула способа Рунге-Кутта 3-го порядка. На практике почаще употребляется способ Рунге-Кутта 4-го порядка:

(1.32)

где Ошибка формулы (1.32) пропорциональна h5.

Этот способ намного более точен, чем способы Эй­лера, но Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример. просит и большего объема вычислений: положение точки (xi+1, yi+1) определяется в итоге 4-кратного вычисления значения функции f (x,y). С возникновением ЭВМ этот недочет не стал быть значимым и ме­тод Рунге-Кутта 4-го порядка применяется на практике очень обширно.

Пример.Используя метод Рунге-Кутты третьего и 4-ого порядков Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример. решить задачку с шагом h=0.1:

На сетке с шагом 0,1 в интервале [0, 1]

Решение:

Для метода третьего порядка (для узла x=0.1) вычисления таковы:

Для метода 4-ого порядка (для узла x=0.1) вычисления таковы:

В качестве примеракомфортно брать дифференциальное уравнение вида: y' = y (для него понятно четкое решение y = ex) с простым исходным условием Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример. y(0) = 1, и решать итерационно способом Рунге-Кутта.

Краевая задачка. Если дополнительные условия задаются более чем в одной точке, т.е. при различных значения независящей переменной, то такая задачка именуется краевой. Сами дополнительные условия именуются при всем этом граничными (либо краевыми) критериями. На практике, обычно граничные условия задаются в Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример. 2-ух точках и , являющихся границами отрезка, на котором рассматривается решение дифференциального уравнения. Малый порядок ОДУ, для которого может быть сформулирована краевая задачка, равен двум.

Ниже приведен пример ОДУ второго порядка с граничными критериями (заданы значения функции в 2-ух разных точках):

Способ прогонки (Конечно-разностный способ).Пусть на отрезке требуется отыскать решение Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример. дифференциального уравнения

8.1 удовлетворяющее последующим краевым условиям: 8.2

Численное решение задачки состоит в нахождении приближённых значений искомого решения в точках . Точки именуются узлами сетки. Используем равномерную сетку, образованную системой равноотстоящих узлов . При всем этом , , . Величина – шаг сетки. Пусть , , , , , . Аппроксимируем и в каждом внутреннем узле центральными разностными производными

,

и на концах отрезка Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример. – однобокими производными

,

Используя эти формулы, получаем разностную аппроксимацию начальной задачки (8.1) – (8.2):

(8.3)

Чтоб отыскать приближённые значения искомого решения, нужно решить систему линейных уравнений (8.3) с неведомыми. Эту систему можно решить одним из стандартных способов решения линейных систем. Но матрица системы (8.3) трёхдиагональная, потому для её решения применим особый способ, именуемый способом прогонки.

Перепишем Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример. систему (3) последующим образом:

(8.4)

где , , , , ,

, , , , .

Будем находить решение системы в виде .( ) Подставляя это выражение в (8.4) получаем что , где , . Вычисляем , . (Прямой ход прогонки). Оборотный ход предполагает вычисление в оборотном порядке


chislennostyu-300-chelovek.html
chislitelnoe-glavnoe-slovo-slovosochetaniya.html
chislo-akcionerov-nepublichnogo-akcionernogo-obshestva-ne-ogranicheno.html