Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике

Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике



Ивановский Муниципальный Энергетический Институт

Кафедра ТОЭЭ


ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛОСКИХ

Электрических ВОЛН В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ


Выполнил: студент группы II-35

Горячев Максим Николаевич

Научный управляющий: Кадников Сергей Николаевич


г. Иваново. 2005 г

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛОСКИХ

Электрических ВОЛН В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ


При расчетах электрического поля в нелинейной Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике ферромагнитной среде до сего времени используются разные эмпирические методики, основанные на приближенных формулах и натурном опыте. А именно, ввиду собственной простоты популярностью пользуется методика, предложенная Л.Р.Нейманом [1]. Она базирована на подмене Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике сложных временных зависимостей индукции и напряженности магнитного поля первыми гармониками и внедрении заместо нелинейной зависимости магнитной проницаемости от H функции от пространственной координаты. Методика Л.Р. Неймана употребляется, к примеру, при расчете Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике процессов индукционного нагрева [2], при расчете утрат на вихревые токи в трансформаторной стали и разных других областях. Но вопрос о точности таковой методики остается открытым, так как натурный опыт может дать оценку только интегральных Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике характеристик. Меж тем при проектировании, к примеру, установок для индукционного нагрева и, в особенности, индукторов для индукционной закалки нужно достоверно знать рассредотачивание магнитного поля снутри железных деталей с учетом нелинейности Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике кривой намагниченности и вихревых токов. Эту делему можно удачно решать только с применением численных способов математического моделирования. Для электродинамических нелинейных задач единственным продуктивным подходом является применение способа сеток либо конечных частей. Таковой подход применительно Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике к процессам индукционного нагрева рассматривается в [2]. Методика, предложенная в этой работе, предугадывает кусочно-постоянную аппроксимацию проницаемости ферромагнитной среды, что может привести к значимым погрешностям, в особенности при глубочайшем насыщении ферромагнитной стали и Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике резкой неоднородности рассредотачивания поля.

Потому представляется животрепещущей разработка способов прямого численного моделирования электрического поля в нелинейной ферромагнитной среде. Это позволит детально изучить нрав электрических явлений, происходящих в нелинейной среде и сделать базу Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике для оценки точности разных приближенных методик.

Разглядим соответствующую одномерную задачку, когда на поверхности плоской металлической стены, толщина которой существенно больше глубины проникания, задано переменное магнитное поле с напряженностью










Частота Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике в проводимых вычислительных опытах изменялась от 1000 Гц до 8000 Гц, а амплитуда напряженности H0m должна варьироваться от 1000А/м до 70000 А/м.

В линейном варианте (μ=const) действующее значение напряженности электронного и магнитного полей выражается Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике формулами, другими словами они описывается точными формулами:





(1)






(2)


где z – расстояние от поверхности стены, b – глубина проникания:


,





Для нелинейной задачки употребляется то же граничное условие. Магнитная черта нелинейного ферромагнетика (конструкционной стали Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике) задавалась в форме:










где k1, k2 – неизменные коэффициенты: k1=1,28 Тл, k2=9,8·10-4 (А/м)-1. Такая зависимость позволяет аппроксимировать кривые намагничивания для разных видов сталей, в особенности при сильных полях. С внедрением данной зависимости можно получить последующее Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике нелинейное уравнение в личных производных на базе уравнений Максвелла:




(3)


Данное уравнение решалось способом сеток. Испытывались разные методы аппроксимации и способы решения приобретенных нелинейных уравнений. Сначала подверглась рассмотрению очевидная схема на пятиточечном Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике шаблоне, как более обычная:




(4)


где









Данная схема имеет 1-ый порядок точности по времени (относительно Δt) и 2-ой относительно пространственной координаты. Численные опыты проявили, что данная схема предъявляет жесткие требования к величине шага по Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике времени, который должен подчиняться условию:









Так как коэффициент пропорционален квадрату напряженности поля, то с ее повышением шаг Δt должен стремительно уменьшаться. При всем этом число шагов по времени на периоде колебания Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике также стремительно вырастает и при H0m>104 А/м может достигать сотен тыщ. Это приводит к необоснованно высочайшим затратам машинного времени и принуждает отрешиться от очевидных схем.

Дальше была испытана Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике неявная схема первого порядка точности по времени вида:




(5)


Данная схема имеет 1-ый порядок точности по времени и 2-ой по месту. В отличие от схемы (4) она полностью устойчива и позволяет значительно прирастить шаг Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике по времени. Но расчеты проявили, что при огромных значениях H0 (глубочайшем насыщении) точность аппроксимации по времени в данной схеме оказывается недостаточной. На зависимостях Hy(t) возникают осцилляции, соответствующие для вычислений при недостаточной точности Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике аппроксимации на устойчивой разностной схеме. Шаг по времени приходиться уменьшать, при этом достаточно существенно, и основное преимущество неявной схемы пропадает. Если учитывать к тому же, что в неявной схеме на каждом временном шаге Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике нужно решать систему нелинейных уравнений (которое сопровождается воззванием матрицы), можно прийти к выводу, что таковой подход так же несостоятелен.

Анализ показал, что основной предпосылкой появившихся заморочек является высочайшая степень жесткости (либо нехорошая Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике обусловленность) системы обычных дифференциальных уравнений, к которой может быть сведено решение уравнения (3). Она выходит при сохранении непрерывной производной по времени и дискретизации дифференциального оператора по z:




(6)


где N – полное число шагов Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике по z. Система N-2 дифференциальных уравнений (6) подменяет (аппроксимирует) начальное уравнение (3). Твердость этой системы можно оценить, определяя якобиан правой части и вычисляя для матрицы якобиана при фиксированном рассредотачивании Hyi собственные числа. Необходимо Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике подчеркнуть, что применение полунеявных способов типа Розенброка для решения уравнений в личных производных ранее не рассматривалось, так как мощная нелинейность для такового рода уравнений является, вообщем говоря, несвойственной. В тех случаях, когда ее приходилось учесть Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике, обычно применялись грубые способы кусочно-постоянной аппроксимации, не обеспечивающие адекватного моделирования. Спектральная норма матрицы якобиана может служить оценкой жесткости ν системы (6). Вычисления проявили, что на линейном участке при относительно малых Hy Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике ν≈2000, в режиме насыщения ν≈107, другими словами твердость системы очень высока. Для решения подобного рода систем разработаны особые способы. В этом случае лучшие результаты показал полунеявный способ Розенброка. Он был реализован в последующей форме Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике:








(7)


где - вектор неведомых Hyi на n-ом временном слое, – правая часть системы (6), , – вспомогательные вектора, , , c1, b1, γ1, γ2 – неизменные числа, – якобиан правой части (6). Данный способ имеет 2-ой порядок точности по времени. Схожая схема еще Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике более устойчива, чем для обыкновенные очевидные способы. Вычислительные опыты проявили, что прямо до H0=105 А/м число шагов по периоду не превосходит 800, что обеспечивает высшую экономию вычислительных ресурсов.

Для реализации приведенных численных алгоритмов Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике использовалась система MATLAB. Данный выбор среды совсем не случаен, потому что нужные вычисления связаны с огромным числом различного рода матриц и векторов. Такая ситуация свойственна для научного программирования, главным инвентарем которого и Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике становится в ближайшее время MATLAB, интерактивная среда матриц и массивов высочайшего уровня. Как уже было сказано, решение осуществляется относительно (N-2) уравнений, потому из вектора решения системы исключатся 1-ый и последний элементы Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике, потому что их значения определяются только из граничных критерий. Итак, вычисления значения значений H на n-ом временном слое (n-ом шаге цикла) выполнялись по последующему методу:


x1=Hm*sin(w*del_t Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике*n+alpha); %H при z=0

x2=0; %H при z=z0 (правая граница)

XX=Ht(2:(N-1),n-1); %другие значения H с прошедшего временного %слоя (исходные условия для решения системы (6))

FF1=f1(XX,x1,x Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике2,N,del_z,as,k2); %вектор F для вычисления k1

J1=Jacobian1(XX,x1,x2,as,del_z,N,k2); %якобиан J для вычисления k1

K1=Rozenbrok(J1,FF Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике1,del_t,N,1); %вектор k1

FF2=f1(XX+K1*b1,x1,x2,N,del_z,as,k2); %вектор F для вычисления k2

J1=Jacobian1(XX+K1*c1,x1,x2,as,del_z,N,k Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике2); %якобиан J для вычисления k2

K2=Rozenbrok(J1,FF2,del_t,N,2); %вектор k1

Ht(2:(N-1),n)=Ht(2:(N-1),n-1)+K1.*g1+K2.*g2; %получаем H на n-ом слое

Ht(N,n Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике)=x1; Ht(1,n)=x2;

Bt(:,n)=k1.*atan(k2.*Ht(:,n)); %временная зависимость для B

%сумма квадратов значений H и B для последнего периода

if (n>n_last) %n_last – начало последнего периода

Hd Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике=Ht(:,n).^2+Hd;

Bd=Bt(:,n).^2+Bd;

end


Функция вычисления :


function Y1=f1(X,x0,xe,N,del_z,as,k2)

%Y1 – требуемый итог

%Вход: X=XX, x0=x1, xe=x2;

%del_z, N – длина Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике и число шагов по месту

%as=a – неизменная из формулы (6)

%k2 – параметр аппроксимации кривой намагничивания

Y1(1,1)=(1+((k2*X(1))^2))*as*(X(2)-2*X(1)+x0)/(del_z^2);

for ii=2:1:(N-3)

Y1(ii,1)=(1+((k Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике2*X(ii))^2))*as*(X(ii+1)-2*X(ii)+X(ii-1))/(del_z^2);

end

Y1(N-2,1)=(1+((k2*X(N-2)^2))*as*(xe-2*X(N-2)+X(N-3))/(del_z^2);

End


Функция вычисления :


function JJ1=Jacobian1(X,x0,xe,as,del_z Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике,N,k2)

%JJ1 – вычисляемый якобиан

%Вход: все входные данные подобны предшествующей функции

for ii=1:1:(N-2)

if (ii>1)

JJ1(ii,ii-1)=as*(1+((k2*X(ii))^2))/(del_z^2);

xl= X(ii-1);

else

xl=x Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике0;

end

if (ii<(N-2))

JJ1(ii,ii+1)=as*(1+((k2*X(ii))^2))/(del_z^2);

xr= X(ii+1);

else

xr=x4;

end

JJ1(ii,ii)=2*((xl-2*X(ii)+xr)*k2*k2*X(ii)-(1+((k2*X(ii))^2))*as/(del_z Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике^2);

end

end


Функция Rozenbrok вычисляет вектора k1 и k2:


function K=Rozenbrok(Jac,F,del_t,N,step)

%Выход: вектор k1 либо k2

%Вход: step=1 => вычисляем k1 либо step=2 => вычисляем k2

%Jac, F – матрица Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике Якоби и вектор F для данного временного слоя

EE=sparse(eye(N-2)); %единичная матрица

if (step==1)

a=1.40824829;

else

a=0.59175171;

end

K=del_t*((EE-Jac.*(del_t*a))\F);

End

Полный листинг программки приведен Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике в Приложении. При написании подобного метода на “скалярных” языкаках программирования, к примеру C++, появляется ряд сложностей, связанных с трудозатратностью обработки огромных массивов данных.




Рис. 1. Зависимость B(t) на поверхности стали (z=0, H0m=60000 A/м Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике).


Результаты расчетов магнитного поля представлены на рисунках 1-5. Точность представленных результатов составляет более 1 %. Она была получена методом сопоставления результатов при разных уровнях дискретизации по времени и месту.

На рис. 1, 2, 3, 4 представлены Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике временные зависимости Hy и By при разных z. Данные кривые демонстрируют, что время переходного процесса практически не находится в зависимости от расстояния от поверхности и амплитуды напряженности на поверхности, другими словами от степени преломления Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике кривых и не превосходит 1-го периода. При всем этом степень преломления кривых падает с ростом расстояния от поверхности, что вызывается уменьшением амплитуды напряженности.



Рис. 2. Зависимость H(t) при z=b/2, H0m Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике=60000 A/м.


На рис. 5 и 6 представлены кривые зависимости действующих значений H и B соответственно от координаты z, отсчитываемой от поверхности металла. На тех же графиках приведены зависимости действующих значений B Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике и H от z для линейного варианта, построенные по формулам (1), (2). В качестве неизменного μ выбиралось значение проницаемости на линейном участке зависимости B(H), равное k1·k2/μ0. Сопоставление указывает, что отклонение кривых H(z) для нелинейного Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике варианта находится в зависимости от амплитуды напряженности на поверхности от кривых при μ=const и при H0m=71000 А/м может достигать 45 %. В то же время отклонение кривой B(z) очень Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике существенно так как при данном значеии H0m сталь насыщается. В реальности значения, приобретенные в линейном варианте для B(z), не могут появляться на практике.




Рис. 3. Зависимость H(t) при z=1,5∙b Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике, H0m=60000 A/м.






Рис. 4. Зависимость B(t) при z=1,5∙b, H0m=60000 A/м.






Рис. 5. Нормированные зависимости H(z) в линейном (кривая 1) и нелинейных вариантах при H0m=7000 А/м (2), H0m=35000 А/м Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике (3), H0m=71000 А/м (4).


При всем этом форма кривых в ферромагнетике приметно отличается от экспоненциальной зависимости. На исходном участке она близка к линейной, что высококачественном смысле согласуется с известными плодами [1].




Рис Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике. 6. Зависимости B(z) в линейном (кривая 1) и нелинейном (2) вариантах.


При рассмотрении нормированных кривых действующих значений напряженностей магнитного поля (рис. 7 и 8), можно прийти к выводу, что в рассмотренном интервале частот (от 1 до 8 КГц) нрав Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике зависимостей не меняется. С ростом частоты изменяется только глубина проникания электрической волны в глубь стали.

В заключение можно отметить, что, невзирая на относительную внешнюю простоту рассмотренной задачки, приобретенные результаты имеют Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике довольно универсальный нрав, так как электрическое поле в стали у ее поверхности всегда близко одномерному.




Рис. 7. Нормированные зависимости H(z) в нелинейном варианте при H0m=71000 А/м и частотах f Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике=2000 Гц (кривая 1), f=5000 Гц (2), f=8000 Гц (3).




Рис. 8. Нормированные зависимости H(z) в линейном варианте при H0m=71000 А/м и частотах f=2000 Гц (кривая 1), f=5000 Гц (2), f=8000 Гц (3).



Литература

1. Нейман Л.Р. Поверхностный Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике эффект в ферромагнитных телах. – Л.; Госэнергоиздат, 1949. -190 с.

2. Слухоцкий А.Е., Рыскин С.Е. Индукторы для индукционного нагрева. – Л.; Энергия, 1974. – 264 с.

3. Немков В.С., Полеводов Б.С. Математическое моделирование на ЭВМ устройств частотного Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике нагрева. – Л.: Машиностроение, 1980. – 210 с.

4. Современные численные способы решения обычных дифференциальных уравнений. / Ред. Дж. Холл, Дж. Уатт. – М.: Мир, 1979. – 312 с.

5. Джон Г. Мэтьюз, Куртис Д. Финк Численные способы. Внедрение MATLAB, 3-е издание.: Пер Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике. с англ. – М.: Издательский дом “Вильямс”, 2001. – 720 с.: ил. – Парал. тит. англ.


Приложение. Полный метод решения уравнения электромагнтного поля (6) с внедрением полунеявного способа Розенброка в системе MATLAB:


function [Hd, Ht, Bd, Bt]=field(Hm Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике)

%Equation of Electromagnetic Field Solving

%(by Goryachev Max & Kadnicov S.N.) Ivanovo, 2005


%Output: Hd и Ht – действующая и временная зависимости напряженности магнитного %поля соответственно; аналогично Bd и Bt для индукции магнитного Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике поля

%Input: Hm – амплитуда синусоиды на входе


% constants (The Rozenbrok method)

b1=0.17378667; c1=b1;

g1=-0.41315432; g2=1.41315432;


% some more constants

f=8000; T=1/f; %frequency and period

w=2*pi*f; %angular frequency

t0=5.0*T; %total time

M=900*5; %number of time steps Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике (can be more than 900*5)

n_last=(5-1)*M/5; %last period

del_t=t0/(M-1);

mu=1000; mu0=4.0*pi*(10^(-7)); % permeability of the material

alpha=0;

gs=0.5*(10^(7)); %conductivity

as=1/(mu*mu0*gs); %constant a (see formula (6))

k1=1.28208647108156;k2=(mu*mu Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике0)/k1;%parameters of approximation

bs=(2/(w*gs*mu0*mu))^(0.5);

z0=10*bs; %right boundary

N=50; %number of space steps

del_z=z0/(N-1);


% main output matrices

Hd=zeros(N,1);Ht=zeros(N,M);

Bd=zeros(N Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике,1);Bt=zeros(N,M);


% main cycle

for n=2:1:M

x1=Hm*sin(w*del_t*n+alpha);

x2=0;

XX=Ht(2:(N-1),n-1);

FF1=f1(XX,x1,x2,N,del_z,as,k2);

J1=Jacobian1(XX,x Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике1,x2,as,del_z,N,k2);

K1=Rozenbrok(J1,FF1,del_t,N,1);

FF2=f1(XX+K1*b1,x1,x2,N,del_z,as,k2);

J1=Jacobian1(XX+K1*c1,x1,x2,as Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике,del_z,N,k2);

K2=Rozenbrok(J1,FF2,del_t,N,2);

% inner elements

Ht(2:(N-1),n)=Ht(2:(N-1),n-1)+K1.*g1+K2.*g2;

% boundary conditions

Ht(N,n)=x2; Ht(1,n)=x1;

%instantaneous Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике values (B)

Bt(:,n)=k1.*atan(k2.*Ht(:,n));

% active values

if (n>n_last)

Hd=Ht(:,n).^2+Hd;

Bd=Bt(:,n).^2+Bd;

end

w=100*n/M

end

% Active values

Hd=(Hd.*(del_t*f)).^(0.5);

Bd=(Bd Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике.*(del_t*f)).^(0.5);

% lets greet the world ;)

% and quit program

end


%Jacoby’s matrix++++++++++++++++++++++++++++++++

function JJ1=Jacobian1(X,x0,xe,as,del_z,N,k2)

for ii=1:1:(N-2)

if (ii>1)

JJ Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике1(ii,ii-1)=as*(1+k2*k2*X(ii)*X(ii))/(del_z^2);

xl= X(ii-1);

else

xl=x0;

end

if (ii<(N-2))

JJ1(ii,ii+1)=as*(1+k2*k2*X(ii)*X(ii))/(del_z^2);

xr= X(ii Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике+1);

else

xr=xe;

end

JJ1(ii,ii)=2*((xl-2*X(ii)+xr)*k2*k2*X(ii)-(1+k2*k2*X(ii)*X(ii)))*as/(del_z^2);

end

end


%function F(X)++++++++++++++++++++++++++++++++++

function Y1=f1(X,x Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике0,xe,N,del_z,as,k2)

Y1(1,1)=(1+((k2*X(1))^2))*as*(X(2)-2*X(1)+x0)/(del_z^2);

for ii=2:1:(N-3)

Y1(ii,1)=(1+((k2*X(ii))^2))*as*(X(ii+1)-2*X(ii)+X(ii-1))/(del_z^2);

end

Y1(N-2,1)=(1+((k Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике2*X(N-2))^2))*as*(xe-2*X(N-2)+X(N-3))/(del_z^2);

end


%vectors k1 and k2++++++++++++++++++++++++++++++

function K=Rozenbrok(Jac,F,del_t,N,step)

EE=sparse(eye(N-2)); % unitary matrix

if (step==1)

a Численное моделирование плоских электромагнитных волн в ферромагнетике=1.40824829;

else

a=0.59175171;

end

K=del_t*((EE-Jac.*(del_t*a))\F);


end



chislennost-sostav-organizacionnaya-struktura-partii-eserov-v-nachale-1900-h-godov-doklad.html
chislennost-trudovih-resursov-metodicheskie-rekomendacii-po-zapolneniyu-formi-i-k-razrabotke-pokazatelej-prognozov.html
chislennost-vinuzhdennih-migrantov-po-dannim-federalnoj-migracionnoj-sluzhbi.html