Численное дифференцирование. Пример

Численное дифференцирование употребляется для приближенного вычисления производных функции данной таблицей и для функций, которые по различным причинам неловко либо нереально дифференцировать аналитически. В последнем случае рассчитывается таблица функции в округи исследуемой точки и по этим значениям рассчитывается приближенное значение производной.

Итак, пусть в точках xi , i=0,1,2,...n известны значения функции Численное дифференцирование. Пример yi=f(xi) . Метод построения формул численного дифференцирования заключается в том, что по табличным точкам строится интерполяционный полином Pn(x) который дифференцируется необходимое число раз и делается допущение о том, что производная от функции ориентировочна равна производной от интерполяционного полинома .

Погрешность таковой формулы характеризуется k-той производной от ошибки Численное дифференцирование. Пример интерполяции .

При кусочно-линейной интерполяции по равноотстоящим узлам xi=x0+i h

получим явную формулу для x

(1)

или, если использовать интерполяцию вида

для получим

(2)

Формулы (1) и (2) именуются правым разностным соотношением и левым разностным соотношением, их можно было бы записать сходу используя определение производной и не привлекая интерполяцию как промежный шаг. Но для получения Численное дифференцирование. Пример более четких формул и для вычисления производных высших порядков без интерполирования не обойтись.

Дифференцируя интерполяционный многочлен в виде первой формулы Ньютона получим

(3)

где q=(x-x0)/h

Такая форма записи позволяет поочередно получать формулы дифференцирования различной степени точности, но для практических вычислений более комфортна форма содержащая не конечные разности, а Численное дифференцирование. Пример значения функции в табличных точках. Так при квадратичной интерполяции для получим

(4)

Если требуется вычислить производную в одной из табличных точек, то формулы упрощаются. А именно, для x=xi по формуле (4) получим

. Это так называемое центральное разностное отношение.

При x=x0 из (4) получим выражение

а при кубической интерполяции получаем

Формулы для вычисления производных второго Численное дифференцирование. Пример порядка получаются методом повторного дифференцирования интерполяционного полинома . К примеру, дифференцируя (3) снова и подставляя x=x0получим

При использовании значений функции заместо конечных разностей для квадратичной интерполяции получим формулу

При численном дифференцировании появляется методическая ошибка, вызванная подменой функции f(x) интерполяционным многочленом Pn(x), и ошибка округления, вызванная неточным заданием значений Численное дифференцирование. Пример функции в табличных точках. Методическая погрешность оценивается производной от ошибки интерполирования и при уменьшении шага, обычно, миниатюризируется. А именно для формулы (1) величина методической погрешности оценивается соотношением

,где

Погрешность округления для всех случаев оценивается величиной где б -абсолютная погрешность начальных значений f(xi).

Таким макаром, методическая погрешность при уменьшении шага интерполирования миниатюризируется, а Численное дифференцирование. Пример погрешность округления назад пропорциональна шагу и при уменьшении шага может как угодно очень исказить получаемый итог, т.е. численное дифференцирование нестабильно. Исходя из этого шаг следует выбирать таким, чтоб суммарная погрешность была мала.

В ряде всевозможных случаев вместе с приближенным равенством удается (к примеру, используя формулу Тейлора) получить четкое равенство Численное дифференцирование. Пример, содержащее остаточный член R (погрешность численного дифференцирования):

f(r)(x) = P(r)N(x) + R, 0 ≤ r ≤ N

Такие формулы именуются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Степень, с которой заходит величина в остаточный член, именуется порядком погрешности формулы численного дифференцирования. Формулы с отброшенными остаточными членами именуются просто формулами численного дифференцирования Численное дифференцирование. Пример.

Остаточные члены этих формул находятся при помощи формулы Тейлора. При всем этом подразумевается, что на отрезке [x0 , xN] у функции f(x) непрерывна производная, через которую выражается остаточный член. При четном N в среднем узле для четной производной порядок точности формулы на единицу больше, чем в других узлах. Потому Численное дифференцирование. Пример рекомендуется по способности использовать формулы численного дифференцирования с узлами, расположенными симметрично относительно той точки, в какой ищется производная.

Разглядим разложения в ряд Тейлора

(1)

. (2)

Тут – величина порядка (С – некая неизменная). Из (1) найдем

(3)

где – величина порядка h.

Другой метод построения формул численного дифференцирования приводит к этим же формулам - способ неопределённых коэффициентов. В большинстве Численное дифференцирование. Пример случаев способ употребляется в многомерном случае, когда выстроить интерполяционный многочлен довольно трудно. В данном случае коэффициенты численного дифференцирования ci выбираются из того, чтоб формула была точна для многочленов очень высочайшей степени. Пусть и потребуем, чтоб для такового многочлена соотношение для f(k)(x) обратилось в равенство: . Чтоб равенство производилось Численное дифференцирование. Пример для хоть какого многочлена степени m , нужно и довольно, чтоб коэффициенты при aj в правой и левой частях были равны (xj)(k) = j(j − 1)...(j − k + 1)xj − k. Получаем систему уравнений: относительно ci. Если m = n − 1, то число уравнений равно числу неведомых. Определитель системы (определитель Вандермонда)отличен от нуля Численное дифференцирование. Пример , другими словами всегда можно выстроить формулу численного дифференцирования с n узлами, точную для многочленов степени n − i.

Пример

Вычислить четкое и приближенное значения производной функции y=x*x в точке x=1 с шагом h=1 и h=0.001.

Аналитическое решение: y'=2x , y'(1)=2

Численное решение для шага: h=1

,

для шага h=0.001


chislennost-pedagogicheskih-i-rukovodyashih-rabotnikov-kompleksnij-investicionnij-plan-modernizacii-monoprofilnogo.html
chislennost-postoyannogo-naseleniya-po-vozrastu-na-1-yanvarya-chelovek.html
chislennost-proizvodstvennih-rabochih-na-dannom-predpriyatii.html