Численный пример Метода Зейделя

Решить систему уравнений с точностью e = 0,001.

5x1 - 3x2 + x3= 1

х1+ 5х2+ х3= 2

x1- 2х2 -5х3= 2

Выразим в каждом уравнении поочередно каждую переменную через другие, разделив каждую строчку на соответственный диагональный коэффициент. При всем этом получим

х1 = 0,2 + 0,6х2-0,2х3

х2 = 0,4 - 0.2х1 - 0,2х3

х3 = - 0,4+ 0,2х1 - 0,4х2

В качестве нулевого приближения выберем х1 = 0,2; х2 = 0,4; хз = - 0,4.

Дальше Численный пример Метода Зейделя производим итерации, выполняя надлежащие вычисления по формулам. Эти вычисления комфортно создавать, используя программный комплекс Microsoft Excel.Результаты выполненных таким макаром вычислений для 10 итераций представлены ниже в виде таблицы Microsoft Excel.

Численные решение нелинейных уравнений

Теоретические сведения

Во мно­гих за­да­чах на­уч­но­го, ин­же­нер Численный пример Метода Зейделя­но­го, экономического пла­на воз­ни­ка­ет не­об­хо­ди­мость ре­ше­ние урав­не­ния ви­да:

, (3.1)

где – за­дан­ная функ­ция;

– не­из­вест­ная ве­ли­чи­на;

– па­ра­мет­ры за­да­чи.

Как пра­ви­ло, инженера Численный пример Метода Зейделя ин­те­ре­су­ет по­ве­де­ние ре­ше­ний в за­ви­си­мо­сти от па­ра­мет­ров pk. При ка­ж­дом фик­си­ро­ван­ном на­бо­ре па­ра­мет­ров pk урав­не­ние (3.1) мо­жет иметь ли­бо ко­неч Численный пример Метода Зейделя­ное чис­ло ре­ше­ний x, ли­бо бес­ко­неч­ное, что со­от­вет­ст­ву­ет фи­зи­че­ско­му смыс­лу кон­крет­ной за­да­чи.

Решениями, либо корнями, уравнения (3.1) именуются такие значения х, которые при подстановке в уравнение обращают Численный пример Метода Зейделя его в тождество.

Только для обычных уравнений удается отыскать решение в аналитическом виде, т. е. записать выражение для разыскиваемой величины х в очевидном виде через характеристики pk. Почти всегда приходится решать уравнение вида (3.1) численными способами, но время от времени, даже при известном аналитическом решении, имеющем непростой вид, бывает проще провести Численный пример Метода Зейделя численное решение по известному методу, чем программировать массивную аналитическую формулу.

Численное решение уравнения (3.1) обычно проводят в два шага. На первом шаге нужно отделить корешки уравнения, т. е. отыскать такие интервалы конфигурации переменной х, где размещен только один корень. Этим действием на первом шаге определяют приближенные значения корней с Численный пример Метода Зейделя погрешностью, задаваемой длиной интервала. На втором шаге проводят уточнение отделенных корней, т. е. находят конкретно сами корешки с данной точностью, для этого известен большой набор алгоритмов и программ.


Способ дихотомии

Считаем, что определение корней уравнения (3.1) проведено и на отрезке [а, b] размещен один корень, который нужно уточнить с погреш­ностью Численный пример Метода Зейделя (рис. 3.1).


Если левая часть уравнения f(x) есть непрерывная функция аргумента х, то корень будет находиться в той половине отрезка, на концах которой f(x) имеет различные знаки. В данном примере (см. рис. 3.1) это будет отрезок , т. е. для еще одного шага уточнения точку bперемещаем в середину отрезка и продолжаем процесс деления Численный пример Метода Зейделя как с начальным отрезком [а, b].

Итерационный (циклический) процесс продолжаем до того времени, пока интервал [а, b] не станет меньше данной погрешности .

Следует учесть, что функция f(x) рассчитывается с некой абсолютной погрешностью . Поблизости корня значения функции f(x) малы по абсолютной величине и возможно окажутся сопоставимыми с погрешностью Численный пример Метода Зейделя ее вычисления. Другими словами, при подходе к корню можно попасть в полосу шумов (см. рис. 2.1) и предстоящее уточнение корня окажется неосуществимым, потому нужно задать ширину полосы шумов и закончить итерационный процесс при попадании в нее. Не считая того, следует подразумевать, что при уменьшении интервала [а, b Численный пример Метода Зейделя]увеличивается погрешность вычисления его длины за счет вычитания близких чисел.

Способ дихотомии позволяет существенно уменьшить объем вычислений по сопоставлению с графическим способом, потому что за каждую итерацию интервал, где размещен корень, миниатюризируется вдвое, потому через n итераций ин­тервал будет равен . За 10 итераций интервал уменьшится в раз ( ), за 20 – в раз Численный пример Метода Зейделя ( ).

Способ хорд

В качестве нового интервала для продолжения итерационного процесса избираем из 2-ух отрезков либо тот, на концах которого функция f(x) воспринимает значения с различными знаками. Заканчиваем процесс уточнения корня, когда расстояние меж очередными приближениями станет меньше данной погрешности
Рассматриваемый способ так же, как и способ дихотомии, предназначен для уточнения Численный пример Метода Зейделя корня на интервале [a, b],на концах которого левая часть решаемого уравнения f(x) воспринимает различные знаки. Интервал [а, b] как и раньше определяем графическим способом, но еще одно приближение берем в отличие от способа дихотомии не посреди отрезка, а в точке х1,где ровная линия, проведенная через точки f Численный пример Метода Зейделя(a) и f(b),пересекает ось абсцисс (рис. 3.2).

погрешности , т. Е , либо когда значения функции f(x) попадут в область шума, т. е. .

Уравнение прямой полосы, проходящей через точки , запишем в общем виде: .

Коэффициенты k и с уравнения этой прямой определим из критерий:

Вычитая левые и Численный пример Метода Зейделя правые части последних соотношений, получим

Точку скрещения прямой y(x) с осью абсцисс получим, приравнивая y(x) кнулю:

(3.3)

либо


chislennost-naseleniya-ponyatie.html
chislennost-naseleniya-sssr.html
chislennost-netrudoustroennih-vipusknikov-srednih-specialnih-uchebnih-zavedenij-v-razreze-federalnih-okrugov-i-subektov.html